Michiel Hekkens Popular Science vandaag, 11:34

Leestijd: 4 minuten

Dit wiskundige probleem snappen duiven beter dan mensen

Het driedeurenprobleem gaat lijnrecht in tegen de menselijke intuïtie. Een instinker, zou je het ook kunnen noemen. Duiven blijken hem zelfs sneller door te hebben dan mensen.

Wiskundigen twijfelden, de menigte was furieus. Drie deuren hebben wat losgemaakt in de mathematische wereld. Onderzoekers van onder meer Princeton en Harvard, het is te prijzen, zetten mens en duif in de ring. Wie de slimste is, laat zich raden.

Kansrekenkundige paradox, tegen je intuïtie in

Waar mensen met een sterk analytisch denkvermogen van smullen, doet mensen die taliger of creatiever zijn ingesteld gruwen: een goede kansrekenkundige paradox, ook wel een contra-intuïtief kansprobleem genoemd.

Voorbeeldvraag om erin te komen

Ter inleiding van dit artikel leggen we er voor de aardigheid alvast eentje voor. Straks volgt het antwoord.

Goed, de helft van de lezers zijn we inmiddels waarschijnlijk kwijt. Daarnaast zal een deel van de mensen die alvast naar het antwoord heeft gespiekt, inmiddels een woedende mail aan het tikken zijn. Paradoxproblemen leiden traditioneel bij veel mensen tot agressie en onbegrip. Voor alle overgeblevenen gaan we door naar het meest beruchte kansprobleem. Althans, onder mensen. Duiven vinden hem wel chill.

Het driedeurenprobleem: een beruchte paradox

Het driedeurenprobleem werd in 1975 bedacht, maar raakte pas in 1990 bekend bij het grote publiek. Toen werd het in onderstaande vorm gepubliceerd in het Amerikaanse tijdschrift Parade.

Het Antwoord

Intuïtief denken veel mensen dat de auto na het openen van een deur met gelijke kans achter een van de twee overgebleven deuren staat. Dat is echter niet zo. Op het moment dat je je eerste keuze maakt, is de kans dat de auto achter jouw deur staat één derde. De kans dat de auto achter een van de twee andere deuren staat, is samen twee derde.

De presentator weet waar de auto staat en opent van die twee andere deuren altijd een deur waarachter een geit staat. Daardoor verdwijnt die kans van 2/3 niet. Die komt als het ware volledig terecht op de ene andere deur die gesloten blijft. Blijf je bij je eerste keuze, dan win je alleen als je meteen de juiste deur had gekozen. Dat gebeurt statistisch gezien in 1 van de 3 gevallen. Wissel je van deur, dan win je juist in de 2 van de 3 gevallen waarin je eerste keuze fout was. Door te wisselen vergroot je dus je winstkans: van 1/3 naar 2/3. Daarom is wisselen statistisch gezien altijd de beste keuze.

Woede en weifelende wiskundige na publicatie

Na de publicatie in 1990 ontving Parade duizenden brieven van vaak woedende lezers die het niet met de oplossing eens waren. Hoe langer veel mensen erover nadenken, hoe sterker hun gevoel wordt dat het niet klopt. Dat geldt niet alleen voor het domme gepeupel.

Ook de beroemde wiskundige Paul Erdős bleef lange tijd volhouden dat wisselen geen verschil zou moeten maken. Uiteindelijk ging hij overstag na het zien van een computersimulatie waarin het driedeurenprobleem herhaaldelijk werd uitgevoerd en wisselen duidelijk meer opleverde dan blijven.

Duiven snappen het beter dan mensen

Om de een of andere reden leek het wetenschappers nuttig om het driedeurenprobleem ook aan duiven voor te leggen. De dieren konden kiezen uit drie knoppen met luikjes erachter. Na de eerste keuze kregen ze nog een kans om te wisselen. Achter het luikje bij de juiste knop stond een bakje graan. Ze voerden het probleem honderd keer per dag uit. Na 25 dagen hadden ze de winnende tactiek ontdekt. Vanaf dat moment verwisselden ze bij het tweede keuzemoment consequent van knop.

Natuurlijk maakt het nogal een verschil of je een raadsel één keer of honderd keer krijgt voorgelegd. Daarom mochten menselijke proefpersonen het probleem ook herhaaldelijk te lijf gaan. In een computerversie konden de deelnemers steeds uit drie knoppen kiezen en daarna opnieuw uit de twee overgebleven knoppen. Zelfs na tweehonderd pogingen vertoonden de proefpersonen geen voortschrijdend inzicht en hadden ze de tactiek met de hoogste winkans nog niet gevonden.

En zo wordt de mens, bekend van vliegende auto’s en de beoogde kolonisatie van Mars, verslagen door de duif, bekend van het onderkakken van standbeelden en het amputeren van de eigen tenen door verstrikt te raken in touwtjes.

Antwoord voorbeeldvraag

De meeste mensen in verschillende onderzoeken antwoorden 1/2. Ze denken: het andere kind is jongen of meisje, dus 50 procent kans. Maar de mogelijke gezinnen zijn:

• jongen–jongen
• jongen–meisje
• meisje–jongen
• meisje–meisje

Omdat minstens één kind een jongen is, valt alleen meisje–meisje af. Er blijven drie even waarschijnlijke mogelijkheden over. Slechts één daarvan is jongen–jongen. De combinaties jongen–meisje en meisje–jongen lijken misschien hetzelfde gezin, maar voor de kansrekening zijn het verschillende uitkomsten, omdat de kinderen verschillend zijn (bijvoorbeeld oudste en jongste). Over statistiek gesproken: deze saaie piet is volgens data de gelukkigste Nederlander.

Geschreven door Michiel Hekkens

Michiel studeerde filosofie, woonde enige tijd in China en gaf les op een middelbare school voordat hij bij Manners terechtkwam. Als journalistieke veelvraat dompelt hij zich net zo graag onder in de longreads van The Economist als in de onderbuik van Johan Derksen. Die brede interesse is terug te zien in zijn werk als redacteur. En of hij nu schrijft over de baas van de ECB of het goedkoopste Funda-krot van Oude Pekela, altijd dient zich wel een filosofisch zijpad aan. Dit laat hij nimmer onbewandeld.